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　　3 . 3.1 引言 • BCH码是一类最重要的循环码，能纠正多个随机错误，它是 1959年由Bose、Chaudhuri及Hocquenghem各自独立发现的 二元线性循环码，人们用他们的名字字头命名为BCH码。 • 在前面的讨论中，我们所做的只是构造一个码，然后计算它 的最小距离，从而估计出它的纠错能力，而在BCH码中，我 们将采用另外一种方法：先说明我们希望它能纠错的个数， 然后构造这种码。 2013/4/11 3

　　16 . 考虑一个本原多项式定义的有限域的例子 • 选择p(x)=1+x+x3，多项式的幂次为m=3,所以由p(x)所定义 的域中包含了2m=23=8个元素。求解p(x)的根就是指找到x 使p(x)=0。我们所熟悉的二进制数0和1不能满足，因为 p(1)=1,p(0)=1 (运用模2运算)。由基本代数学理论我们知 道，对于幂次为m的多项式必然有m个根。对于这个例子， p(x)=0有3个根，由于这3个根不可能位于与p(x)系数相同 的有限域中，而是位于扩展域GF(23)中。用扩展域的元素 a来定义多项式p(x)的根，可写成如下形式：p(a)=0 2013/4/11 16

　　26 . 3.4 BCH码的编码 • 对一个分组长度n=pm-1、确定可纠t个错误的BCH码的生成 多项式的步骤： 1. 选取一个次数为m的素多项式并构造GF(pm) 2. 求ai,i=0,1,2,…n-2的极小多项式fi(x) 3. 可纠t个错误的码的生成多项式为 g(x)=LCM[f1(x),f2(x),…,f2t(x)] 用这种方法设计的码至少能纠t个错误，在很多情况下，这些 码能纠多于t个错误！！因此d=2t+1称为码的设计距离，其 最小距离d*≥ 2t+1。注意：一旦确定了n和t，我们便可以确 定BCH码的生成多项式。 2013/4/11 26